Question

18．關(guān)于函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$，給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減且沒有最值；
②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
③如果方程f（x）=k有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；
④y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值，
則其中真命題是②．（只要寫標(biāo)題號(hào)）

Answer 1

分析 ①x＞0時(shí)，由x≠1知y=f（x）不具有單調(diào)性，判定命題錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，在x＞0且k＞0時(shí)，判定函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)；由對稱性知，x＜0且k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)有交點(diǎn)；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；
③函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，且f（x）=0，舉例說明k=0時(shí)，方程f（x）=k有1個(gè)解；
④函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，由①，即可判斷結(jié)論是否正確．

解答 解：①當(dāng)x＞1時(shí)，y=f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)，
0＜x＜1時(shí)，y=f（x）=-$\frac{x}{x-1}$=-1-$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)
且無最值；
∴命題①錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）=f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)一定有交點(diǎn)；
由對稱性知，當(dāng)x＜0且k＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)一定有交點(diǎn)；
∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
∴命題②正確；
③∵函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，且f（x）=0，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程f（x）=k的解的個(gè)數(shù)是奇數(shù)；∴命題③錯(cuò)誤；
④∵函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，x≠±1，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；
由對稱性知，函數(shù)f（x）無最小值，命題④錯(cuò)誤．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對值的分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時(shí)應(yīng)先去掉絕對值，化為分段函數(shù)，把分式函數(shù)分離常數(shù)，是易錯(cuò)題．