Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=AD=2，M，N分別為線段AC上的點．若∠MBN=30°，則三棱錐M-PNB體積的最小值為$\frac{4}{3}（2-\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 設(shè)∠MBH=α，∠NBH=β，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系得到$α+β=\frac{π}{6}$，根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行求解即可．

解答 解：由題意值V_M-PNB=V_P-MNB=$\frac{2}{3}$S_△MNB=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}sin30°•BM•BN=\frac{1}{6}BM•BN$，
過B作BH⊥AC于H，如圖：
不妨設(shè)∠MBH=α，∠NBH=β，
由BH=$\sqrt{2}$知，V_M-PNB=$\frac{1}{6}×\frac{\sqrt{2}}{cosα}•\frac{\sqrt{2}}{cosβ}$=$\frac{1}{3cosαcosβ}$，$α+β=\frac{π}{6}$，
∴V_M-PNB=$\frac{1}{6}×\frac{\sqrt{2}}{cosα}•\frac{\sqrt{2}}{cosβ}$=$\frac{1}{3cosαcosβ}$=$\frac{1}{3cosαcos（\frac{π}{6}-α）}$=$\frac{1}{3cosα（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα）}$
=$\frac{4}{3}•\frac{1}{\sqrt{3}+2sin（2α+\frac{π}{3}）}$$≥\frac{4}{3}•\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{4}{3}（2-\sqrt{3}）$，當且僅當$α=\frac{π}{12}$時，取等號．
故答案為：$\frac{4}{3}（2-\sqrt{3}）$

點評 本題主要考查空間三棱錐的體積的計算，利用三角函數(shù)法，結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．