Question

11．已知函數f（x）=|x²-a|+|x-a|（a≥1），
（1）當a=1時，試求函數f（x）單調區(qū)間，并求函數在[-2，2]上的最值；
（2）若f（x）=k有兩個不相等的實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-1}\\{-{x}^{2}-x+2，-1＜x＜1}\\{{x}^{2}+x-2，x≥1}\end{array}\right.$，從而寫出函數的單調區(qū)間及在[-2，2]上的最值即可；
（2）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-\sqrt{a}}\\{-{x}^{2}-x+2a，-\sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}}\\{{x}^{2}-x，\sqrt{a}≤x≤a}\\{{x}^{2}+x-2a，x＞a}\end{array}\right.$，從而確定函數的單調區(qū)間，作函數簡圖，由數形結合求實數k的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，
f（x）=|x²-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-1}\\{-{x}^{2}-x+2，-1＜x＜1}\\{{x}^{2}+x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
由二次函數的性質可得，
f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-1]，（-$\frac{1}{2}$，1），
f（x）的單調增區(qū)間為（-1，-$\frac{1}{2}$]，[1，+∞）；
在區(qū)間[-2，2]上，f（-2）=6，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{4}$，f（2）=4，f（1）=0；
故函數在[-2，2]上的最大值為6，最小值為0；
（2）函數f（x）=|x²-a|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-\sqrt{a}}\\{-{x}^{2}-x+2a，-\sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}}\\{{x}^{2}-x，\sqrt{a}≤x≤a}\\{{x}^{2}+x-2a，x＞a}\end{array}\right.$，
由二次函數的性質可得，
f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$]，（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{a}$），
f（x）的單調增區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，-$\frac{1}{2}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）；
作函數f（x）=|x²-a|+|x-a|的簡圖如右圖，
f（-$\sqrt{a}$）=a+$\sqrt{a}$，f（-$\frac{1}{2}$）=2a+$\frac{1}{4}$，f（$\sqrt{a}$）=a-$\sqrt{a}$；
結合圖象可得，
若f（x）=k有兩個不相等的實數根，
則a-$\sqrt{a}$＜k＜a+$\sqrt{a}$或a+$\sqrt{a}$＜k＜2a+$\frac{1}{4}$．
故實數k的取值范圍為（a-$\sqrt{a}$，a+$\sqrt{a}$）∪（a+$\sqrt{a}$，2a+$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了分段函數的應用及函數的性質的判斷，同時考查了數形結合的思想應用，屬于中檔題．