Question

已知a＞b＞c＞0,方程x²-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,若該方程有實根，求證：a,b,c不能成為一個三角形的三邊長.

Answer 1

證明：∵方程x²-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0有實根，

∴Δ=(a+b+c)²-4(ab+bc+ca)=a²+b²+c²-2(ab+bc+ca)

=(a-b)²-2(a+b)c+c²

=［()²-c］·［()²-c］

=(+)(-)(+)(-)≥0.

若a,b,c為一個三角形的三邊長，由+＞0,-＞0,+＞0,

得≥0,即,

即b+c＜a.這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾.

∴a,b,c不能成為一個三角形的三邊長.