Question

13．設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為常數，且m≠-3，m≠0．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列．
（2）若數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=$\frac{3}{2}$f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求證：數列{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數列．

Answer 1

分析 （1）求得n=1時，a₁=S₁=1，由a_n+1=S_n+1-S_n，將n換為n+1，相減，結合等比數列的定義，即可得到證明；
（2）求得b₁=a₁=1，由（1）可得q=f（m），由題意可得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，整理可得，$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，運用等差數列的定義，即可得證．

解答 證明：（1）由n=1可得a₁=S₁，即有（3-m）S₁+2ma₁=m+3，解得a₁=1，
由a_n+1=S_n+1-S_n，
（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減得（3+m）a_n+1=2ma_n，
因為m≠0且m≠-3，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2m}{m+3}$，
所以數列{a_n}是首項為1，公比為$\frac{2m}{m+3}$的等比數列；
（2）因為b₁=a₁=1，q=f（m）=$\frac{2m}{m+3}$，
所以n∈N*且n≥2時，b_n=$\frac{3}{2}$f（b_n-1）=$\frac{3}{2}$•$\frac{2_{n-1}}{3+_{n-1}}$，
可得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
所以數列{$\frac{1}{_{n}}$}是以1為首項，$\frac{1}{3}$為公差的等差數列．

點評 本題考查等差數列和等比數列的定義的運用，考查數列遞推式的運用，考查轉化思想，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．