Question

n²（n≥4,且n∈N₊)個正數(shù)排成一個n列的數(shù)陣：

        第1列        第2列        第3列        …        第n列

第1行    a₁₁                   a₁₂                 a₁₃          …          a_1n

第2行    a₂₁                   a₂₂                 a₂₃                …          a_2n

第3行    a₃₁                   a₃₂                 a₃₃                …          a_3n

…        …             …           …           …           …

第n行     a_n1                   a_n2                a_n3                 …          a_nn

    其中a_ik(1≤i≤n,1≤k≤n，且i,k∈N₊)表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù)，已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，且a₂₃=8,a₃₄=20.

(1)求a₁₁和a_ik;

(2)設(shè)A_n=a_1n+a_2(n-1)+a_3(n-2)+…+a_n1,

Answer 1

證明：當(dāng)n為3的倍數(shù)時，(A_n+n)能被21整除.

(1)解：設(shè)第一行公差為d,則a_ik=［a₁₁+(k-1)d］×2^i-1.

∵a₂₃=8,a₃₄=20.

∴解得a₁₁=2,d=1.

∴a₁₁=2,a_ik=(k+1)×2^i-1(1≤i≤n,1≤k≤n，且n≥4,i,k,n∈N ₊).

(2)證明：∵A_n=a_1n+a_2(n-1)+a_3(n-2)+…+a_n1

=(n+1)+n×2+(n-1)×2²+…+2×2^n-1,①

∴2A_n=(n+1)×2+n×2²+(n-1)×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ,②

②-①,得A_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ-(n+1)

=2ⁿ-2+2×2ⁿ-(n+1)

=3×(2ⁿ-1)-n.

∴A_n+n=3×(2ⁿ-1).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為3的倍數(shù)時，（A_n+n）能被21整除.

設(shè)n=3m(m∈N ₊,且m≥2),則

A^3m+3m=3×(2^3m-1).

（1）當(dāng)m=2時，A₆+6=3×(2⁶-1)=21×9,能被21整除.∴當(dāng)m=2時，結(jié)論成立.

（2）假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時，結(jié)論成立.

即A_3k+3k=3×(2^3k-1)能被21整除.

當(dāng)m=k+1時,

A_3(k+1)+3(k+1)=3(2^3(k+1)-1)=3(2^3k×8-1)

=3(2^3k+7×2^3k-1)

=3(2^3k-1)+21×2^3k能被21整除.

∴當(dāng)m=k+1時，結(jié)論成立.

由（1）（2）可知，當(dāng)n為3的倍數(shù)時，A_n+n,能被21整除.