Question

已知橢圓的中心是坐標原點O,它的短軸長為2,右焦點為F,右準線l與x軸相交于點E,=,過點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,點C和點D在l上,且AD∥BC∥x軸.

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)當|BC|=|AD|時,求直線AB的方程;

(3)求證:直線AC經(jīng)過線段EF的中點.

Answer 1

解:(1)設橢圓方程為+=1(a＞b＞0).由2b=2得b=1.

又=,∴解得a=,c=1.

∴橢圓方程為+y²=1.

離心率e=.

(2)由(1)知點F坐標為(1,0),又直線AB的斜率存在,設AB的斜率為k,

則AB的方程為y=k(x-1).

由得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0,(*)

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁,x₂是(*)方程兩根,且x₁＜x₂,

∴x₁=,x₂=.

∵AD∥BC∥x軸,且|BC|=|AD|,

∴-x₂=(-x₁),即2=(2),

解得k=±1.

∴直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

(3)證明:∵點F(1,0),E(2,0),

∴EF中點N的坐標為(,0).

①當AB⊥x軸時,A(1,y₁),B(1,-y₁),C(2,-y₁),

那么此時AC的中點為(,0),即AC經(jīng)過線段EF的中點N.

②當AB不垂直x軸時,則直線AB斜率存在,

設直線AB的方程為y=k(x-1).

由(*)式得x₁+x₂=,x₁x₂=.

又∵x₁²=2-2y₁²＜2,得x₁≠0,

故直線AN,CN的斜率分別為k₁==,k₂==2k(x₂-1),

∴k₁-k₂=2k·.

又∵(x₁-1)-(x₂-1)(2x₁-3)=3(x₁+x₂)-2x₁x₂-4

=［12k²-4(k²-1)-4(1+2k²)］=0,

∴k₁-k₂=0,即k₁=k₂.且AN,CN有公共點N,∴A,C,N三點共線.

∴直線AC經(jīng)過線段EF的中點N.

綜上所述,直線AC經(jīng)過線段EF的中點.

說明:其他正確解法按相應步驟給分.