Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

-

1

2

．
（Ⅰ）若x∈(-

π

3

，

π

6

)，求f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f（B）=1，a=5，b=5

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積公式與三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin（x+

π

6

），再由x∈(-

π

3

，

π

6

)利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得f（x）的取值范圍；
（II）根據(jù)f（x）的表達(dá)式化簡(jiǎn)f（B）=1，算出B=

π

3

．再根據(jù)已知條件利用正弦定理算出sinA=

1

2

，結(jié)合a＜b得出A=

π

6

，由三角形內(nèi)角和定理算出C=

π

2

，得到△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，可得△ABC的面積．

解答：解：（I）∵向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，
∴

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

（1+cosx）．
由此可得函數(shù)f(x)=

m

•

n

-

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
又∵x∈(-

π

3

，

π

6

)，得x+

π

6

∈(-

π

6

，

π

3

)．
∴sin（x+

π

6

）∈(-

1

2

，

3

2

)，即f（x）的取值范圍是(-

1

2

，

3

2

)；
（II）∵f（x）=sin（x+

π

6

），∴f（B）=sin（B+

π

6

）=1，
又∵B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴B+

π

6

=

π

2

，可得B=

π

3

．
∵a=5，b=5

3

，
∴根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA=

asinB

b

=

5×sin π 3

5 3

=

1

2

，
由a＜b得A＜B，所以A=

π

6

，
因此C=π-（A+B）=

π

2

，可得△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴△ABC的面積S=

1

2

ab=

1

2

×5×5

3

=

25 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用正弦定理解三角形與三角形的面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．