Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=3處取極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題目中條件：“函數(shù)f（x）=alnx+x在x=3處取到極值”，利用導數(shù)，得導函數(shù)的零點是3，從而得以解決．
（Ⅱ）由已知得x＞0，且f′（x）=

x+a

x

，對a討論，由此利用導數(shù)性質能求出f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=1+

a

x

，
∴f′（3）=0⇒

a

3

+1=0，∴a=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=x+alnx，且f′（x）=

x+a

x

，
∴當a≥0時，在x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞），沒有減區(qū)間；
當a＜0時，函數(shù)f（x）與f′（x）在定義域上的情況如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

則函數(shù)的增區(qū)間是（-a，+∞），減區(qū)間是（0，-a）．

點評：本題考查函數(shù)的對數(shù)的運用：求單調區(qū)間和求極值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．