Question

已知x=

2

是函數(shù)f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x＜0

的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)b∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解（Ⅰ）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax ） e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ） e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′（

2

）=0，解得a=1．∴f（x）=（x²-2x），f′（x）=（x²-2）e^x．
當(dāng) x∈（0，

2

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．   又f（0）=0，
當(dāng) b=1時(shí)，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞） 上單調(diào)遞增，在（0，

2

）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
當(dāng)x∈（

2

，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．
要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
①當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

．
②當(dāng)b=0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
③當(dāng)b＜0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．