Question

【題目】定義向量的“相伴函數(shù)”為，函數(shù)的“相伴向量”為，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

（1）設(shè)，求證：；

（2）已知且，求其“相伴向量”的模；

（3）已知為圓上一點(diǎn)，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）把化為形式，由定義證明；

（2）把化為形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模；

（3）先根據(jù)定義得到函數(shù)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量，再結(jié)合幾何意義求出的取值范圍，由正切的二倍角公式及函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．

（1），其“相伴向量”為，

∴；

（2）

，

其“相伴向量”為，

∴；

（3）向量的“相伴函數(shù)”為，其中，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，故，∴，

∴，表示直線的斜率，由幾何意義知，令，則，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，

綜上所述，．