Question

5．某商場五一記性抽獎促銷活動，當人在該商場消費的顧客即可參加抽獎活動抽獎情況如下：

消費金額X（元）	[500，1000）	[1000，1500）	[1500，+∞）
抽獎次數(shù)	1	2	4

抽獎中有9個大小形狀完全相同的小球，其中4個紅球、3個白球、2個黑球（每次只能抽取一個，且不放回抽�。�，第一種抽獎方式：若抽得紅球，獲獎金10元；若抽得白球，獲獎金20元；若抽得黑球，獲獎金40元，第二種抽獎方式：抽到白球或黑球才中獎，若抽到白球，獲獎金50元；若抽到黑球獲獎金100元．
（1）若某顧客在該商場當日消費金額為2000元，用第一種抽獎方式進行抽獎，求獲得獎金70元的概率；
（2）若偶顧客在該商場當日消費金額為1200元，請同學們告訴這位顧客哪種抽獎方式對他有利．

Answer 1

分析 （1）由X=2000，得該顧客有4次抽獎機會，得獎金70元，則有兩種情形：抽得3紅1黑或抽得1紅3白，由此能求出獲得獎金70元的概率．
（2）用第一種抽獎方式抽獎，獲得獎金額ξ（元）的可能取值為20，30，40，50，60，80，分別求出相應的概率，能求出Eξ；用第二種方式抽獎，獲獎金額η（元）的可能取值為0、50、100、150、200，分別求出相應的概率，能求出Eη．由Eξ＜Eη，得這位顧客選擇抽獎方式對他有利．

解答 解：（1）∵X=2000，
∴該顧客有4次抽獎機會，得獎金70元，則有兩種情形：抽得3紅1黑或抽得1紅3白，
∴獲得獎金70元的概率：
p=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{2}{21}$．
（2）∵X=1200，∴該顧客有2次抽獎機會，
用第一種抽獎方式抽獎，獲得獎金額ξ（元）的可能取值為20，30，40，50，60，80，
則P（ξ=20）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=30）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=40）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，
P（ ξ=50）$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=60）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=80）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	20	30	40	50	60	80
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

Eξ=$20×\frac{1}{6}+30×\frac{1}{3}+40×\frac{1}{12}+50×\frac{2}{9}+$$60×\frac{1}{6}+80×\frac{1}{36}$=40．
用第二種方式抽獎，獲獎金額η（元）的可能取值為0、50、100、150、200，
則P（η=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=50）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（η=100）=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{11}{36}$，
P（η=150）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=200）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
∴η的分布列為：

η	0	50	100	150	200
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

Eη=$0×\frac{1}{6}+50×\frac{1}{3}+100×\frac{11}{36}+150×\frac{1}{6}$+$200×\frac{1}{36}$=$\frac{700}{9}$，
∵Eξ＜Eη，∴這位顧客選擇抽獎方式對他有利．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，解題時要注意排列組合知識的合理運用，是中檔題．