Question

3．如圖所示，在多面體A₁B₁D₁DCBA中，四邊形AA₁B₁B，ADD₁A₁，ABCD均為正方形，E為B₁D₁的中點(diǎn)，過A₁，D，E的平面交CD₁于F．
（Ⅰ）證明：EF∥B₁C；
（Ⅱ）求二面角E-A₁D-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，可得B₁C∥A₁D，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)邊長為2，則所求值即為平面A₁B₁CD的一個法向量與平面A₁EFD的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵B₁C=A₁D且A₁B₁=CD，
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，
∴B₁C∥A₁D，
又∵B₁C?平面A₁EFD，
∴B₁C∥平面A₁EFD，
又∵平面A₁EFD∩平面B₁CD₁=EF，
∴EF∥B₁C；
（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖，設(shè)邊長為2，
∵AD₁⊥平面A₁B₁CD，∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2）為平面A₁B₁CD的一個法向量，
設(shè)平面A₁EFD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2y-2z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角E-A₁D-B₁的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查空間中線線平行的判定，求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．