Question

【題目】設(shè)分別是橢圈的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上第二象限內(nèi)的一點(diǎn)且與軸垂直，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）若直線的斜率為，求橢圓的離心率；

（2）若直線與軸的交點(diǎn)為，且求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 根據(jù)題意，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表達(dá)出直線的斜率，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)，從而得到的等量關(guān)系，從而求出橢圓的離心率.

（2） 根據(jù)直線與軸的交點(diǎn)為且點(diǎn)為的中點(diǎn)求出，再根據(jù)，建立方程組關(guān)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得出結(jié)果.

（1）由題意可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程得：，解得，

點(diǎn)，又點(diǎn)，

∴直線的斜率為，即，

又， ，

兩邊同時(shí)除以得：，解得，

∴橢圓的離心率為；

（2）如圖所示：

原點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，又點(diǎn)，點(diǎn)，

，，

設(shè)點(diǎn)， ，，，

，，點(diǎn)，

把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得：，

由，解得，

.