Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一元二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對(duì)稱軸x=a與區(qū)間[1，a]再結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域．
（2）由于要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即因此需求出函數(shù)在[1，a+1]上的最大最小值．
（3）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系可得f（x）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)即f（x）=0在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解也即2a=在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x的值域．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對(duì)稱軸為x=a∈[1，a]
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)
∴a≥2
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調(diào)遞減，[a，a+1]上單調(diào)遞增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]_max=f（1）=f（a），[f（x）]_min=f（a）
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
∴要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a²-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解
∴2a=在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解
令g（x）=x則g（x）在[1，]單調(diào)遞減，在（，3]單調(diào)遞增且g（1）=6，g（3）=
∴2≤g（x）≤6
∴2≤2a≤6
∴≤a≤3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．解題的關(guān)鍵是雖然（1）（2）都可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值但第二問(wèn)首先需分析出對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
而對(duì)于第三問(wèn)關(guān)于求參數(shù)的取值范圍的類(lèi)型長(zhǎng)采用反解的方式即用未知數(shù)表示參數(shù)然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在指定范圍內(nèi)的值域問(wèn)題！