Question

在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC。
（Ⅰ）證明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）設(shè)BC=2，CD=2，OE=，求EC與平面ABCD所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)M，連結(jié)OM， 在矩形ABCD中，， 又，則， 連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形， ∴FO∥EM， 又平面CDE，且EM平面CDE， ∴FO∥平面CDE。 （Ⅱ）連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，CM=DM， EM⊥CD，且， 又， 因此，平行四邊形EFOM為菱形， 過E作EG⊥OM于G， ∵CD⊥EM，CD⊥OM， ∴CD⊥平面EOM，∴CD⊥EG， 因此，EG⊥平面ABCD，所以，∠EGC為EC與底面ABCD所成角， 在△EOM中，，則△EOM為正三角形， ∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離為， 所以，， 即EC與平面CDF所成角的正弦值為。