Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求這三條曲線的方程.

(2)已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P(3,0)，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(1)設(shè)拋物線方程為y²=2px(p＞0),將M(1,2)代入方程得p=2.

    ∴拋物線方程為y²=4x.

    由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為F₁(-1,0)、F₂(1,0),

    ∴c=1,c′=1.

    對(duì)于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=+=2+2.

    ∴a=1+.

    ∴a²=(1+)²=3+2.

    ∴b²=a²-c²=2+2.

    ∴橢圓方程為+ =1.

    對(duì)于雙曲線,2a′=||MF₁|-|MF₂||=2-2,∴a′=-1.

    ∴a′²=3-2.

    又c′=1,∴b′²=c′²-a′²=2-2.

    ∴雙曲線方程為-=1.

    (2)設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l′的方程x=a，以AP為直徑的圓交l′于D、E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H.

    令A(yù)(x₁,y₁)，∴C(,).

    ∴|DC|=|AP|=,

    |CH|=|-a|=|(x₁-2a)+3|.

    ∴|DH|²=|DC|²-|CH|²

    =［(x₁-3)²+y₁²］-［(x₁-2a)+3］²

    =(a-2)x₁-a²+3a.

    當(dāng)a=2時(shí)，|DH|²=-4+6=2為定值.

    ∴|DE|=2|DH|=2為定值.

    此時(shí)l′的方程為x=2.