Question

15．若數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比數(shù)列，
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．變形為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，即可得出a_n．
（3）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，因此a_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
（3）解：數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．