Question

如圖，直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)F在x軸正半軸上，的面積為S.且，設(shè)，.

（1）以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)G，求點(diǎn)G的縱坐標(biāo).

（2）在（1）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)A、B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)D在直線PA上，若直線PB的方程為，且，試求CD直線方程.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)（），利用 的面積，即可求得的縱坐標(biāo)；

（2）利用，可求得，從而可求得，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由（2）知：，，，設(shè)，可求得 ，繼而求得，再由，求得，又CD直線過點(diǎn)C，即可求出CD直線方程.

試題解析：（1）設(shè)（）

， 得

，

（2）由（1）知

易得 在[2，]上遞增

當(dāng)時(shí) 有最小值，此時(shí)

由于點(diǎn)G在橢圓E上，且

可求得

方程為：

（3）由（2）知：，，

直線BP：經(jīng)過點(diǎn)B，求得

又設(shè)P（）則

又CD直線過點(diǎn)C（0，）

故：所求CD方程為：

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系.