Question

11．若（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ展開式的系數(shù)和為256，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為5670．

Answer 1

分析 根據(jù)題意令x=1求出n的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：∵（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ=（x-$\frac{3}{x}$）²ⁿ，
且展開式的系數(shù)和為256，
∴令x=1，得（1-3）²ⁿ=256，
解得n=4；
∴（x-$\frac{3}{x}$）⁸的展開式中第r+1項(xiàng)為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（-\frac{3}{x}）}^{r}$=（-3）^r•${C}_{8}^{r}$•x^8-2r，
令8-2r=0，解得r=4，
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（-3）⁴•${C}_{8}^{4}$=81${C}_{8}^{4}$=5670．
故答案為：5670．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．