Question

P為橢圓上的任意一點（異于頂點），橢圓短軸上兩個端點分別是B₁、B₂若直線PB₁，PB₂分別與x軸交于點M，N，求證：|OM|，a，|ON|成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：求出橢圓上下頂點坐標，設P（x_o，y_o）M（x_m，0）N（x_n，0），利用M，P，B₁三點共線求出M，N的橫坐標，利用p在橢圓上，推出|OM|•|ON|=a²即可．
解答：解：由橢圓方程知B₁（0，b），B₂（0，-b）另設P（x_o，y_o）M（x_m，0）N（x_n，0）（2分）
由M，P，B₁三點共線，知（4分）
所以（6分）
同理得（9分）|OM|•|ON|=…①，
又P在橢圓上所以即代入①得              10分
|OM|•|ON|==（12分）
（或由向量共線，或由直線方程截距式等求得點M坐標可相應給分）
點評：本題是中檔題，思路明確重點考查學生的計算能力，也可以由向量共線，或由直線方程截距式等求得點M坐標．