Question

在四棱錐P—ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，，直線PA與底面ABCD成60°角，點M、N分別是PA、PB的中點.

（Ⅰ）求二面角P—MN—D的大�。�

（Ⅱ）當(dāng)的值為多少時，∠CND為直角？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，  ∴AB⊥PD，又AB⊥AD， ∴AB⊥面PAD.

     又MN是△PAB的中位線，     ∴MN∥AB，從而MN⊥面PAD.

     ∴∠PMD為二面角P—MN—D的平面角

由已知，在Rt△PAD中，易證：∠PAD=60°，而M是PA的中點，∴∠PMD=120°.

即所求二面角P—MN—D的大小為120°.

（Ⅱ）令，不妨設(shè)AD=2，則.

以D為原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），

∴（1，2，），（1，2-4x，）；

若∠CND為直角，則必有，

即

于是有，解得.

∴當(dāng)時，∠CND為直角.