Question

（2013•肇慶一模）已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，nan+1=2Sn(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

2

(n+2)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）在nan+1=2Sn(n∈N*)中，分別令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）累乘法：n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，①-②化簡(jiǎn)得na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

（n＞1），則an=a2×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

，由此可得a_n=n（n＞1），注意驗(yàn)證a₁；
（3）裂項(xiàng)相消法：由（2）可求得bn=

2

(n+2)n

=

1

n

-

1

n+2

，各項(xiàng)按此規(guī)律展開(kāi)即可求得T_n；

解答：解：（1）由a1=1，nan+1=2Sn(n∈N*)得，a₂=2a₁=2，2a₃=2S₂，則a₃=a₁+a₂=3，
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），得a₄=4；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化簡(jiǎn)得na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

（n＞1）．
∴a₂=2，

a3

a2

=

3

2

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上（n-1）個(gè)式子相乘得an=2×

3

2

×…×

n

n-1

=n（n＞1），
又a₁=1，∴an=n(n∈N*)；
（3）∵bn=

2

(n+2)an

=

2

(n+2)n

=

1

n

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，若數(shù)列{a_n}滿足：

an+1

an

=f（n），則往往利用累乘法求a_n；若{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法求解，其中

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．