Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N₊）．
（1）求S_n；
（2）若{b_n}是{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)a_n=5S_n-3，用a_n表示出S_n，進(jìn)而求出a_n與a_n-1的比值，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出的a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，結(jié)合b_n=a_2n-1得答案．

解答 解：（1）由a_n=5S_n-3得S_n=$\frac{{a}_{n}+3}{5}$，
當(dāng)n≥2時(shí)S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}+3}{5}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{5}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=-\frac{1}{4}$，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁-3，
∴a₁=$\frac{3}{4}$，則a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴${S}_{n}=\frac{3-3×（-\frac{1}{4}）^{n}}{5}$；
（2）∵{b_n}是{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，
且a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴b_n=a_2n-1=$-3×（-\frac{1}{4}）^{2n-1}=\frac{3}{{4}^{2n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬中檔題．