Question

求證：當(dāng)且僅當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)，等比數(shù)列1，2，，…的前n項(xiàng)和能被7整除．

Answer 1

答案：
解析：

證明 =1＋2＋＋…＋=－1 當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然不能被7整除． 當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)n=3k＋r，k∈，r∈{0，1，2}，則 易知能被7整除，且 r=0時(shí)，－1=0； r=1時(shí)，－1=1； r=2時(shí)，－1=3． ∴當(dāng)且僅當(dāng)r＝0即n是3的整數(shù)倍時(shí)，能被7整除． 注意，本例也可用數(shù)學(xué)歸納法證明．利用二項(xiàng)式定理證明有關(guān)多項(xiàng)式的整除問(wèn)題，關(guān)鍵在于將被除式構(gòu)造成恰當(dāng)?shù)亩��?xiàng)式形式，使其展開(kāi)后的每一項(xiàng)均含有除式的因式．