Question

某飛機制造公司一年中最多可生產某種型號的飛機100架．已知制造x架該種飛機的產值函數為R（x）=3000x-20x²（單位：萬元），成本函數C（x）=500x+4000（單位：萬元）．利潤是收入與成本之差，又在經濟學中，函數f（x）的邊際利潤函數Mf（x）定義為：Mf（x）=f（x+1）-f（x）
（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；（利潤=產值-成本）
（2）問該公司的利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用利潤=產值-成本寫出：P（x）及MP（x）的表達式即可；
（2）由于由（1）得出：P（x）=-20（x-）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；下面分類討論：當x=62或63時，或當x=1時的函數值，最后得出利潤函數與邊際利潤函數不具有相等的最大值的結論即可．
解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000（x∈N*，且x∈[1，100]）（3分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（x∈N*，且x∈[1，100]）；..（6分）
（2）P（x）=-20（x-）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；．（8分）
則當x=62或63時，P（x）max=74120（元），（10分）
因為MP（x）=-40x+2480為單調砬函數，
則當x=1時，MP（x）max=2440元，
故利潤函數與邊際利潤函數不具有相等的最大值（12分）
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．