Question

17．拋物線y=x²，若過點（0，m）且長度為2的弦恰有兩條，則m的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 由題意可得弦所在直線的斜率存在，設(shè)為k，可得直線方程為y=kx+m，（k≠0），代入拋物線的方程，運用韋達定理和判別式大于0，弦長公式，運用換元法，以及函數(shù)的單調(diào)性和拋物線的對稱性，即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得弦所在直線的斜率存在，設(shè)為k，
可得直線方程為y=kx+m，（k≠0），
代入拋物線的方程，可得x²-kx-m=0，
即有△=k²+4m＞0，
設(shè)弦的端點的橫坐標分別為x₁，x₂，
可得x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
即有弦長為$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+4m}$=2，
化為4m=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$-k²，
令t=1+k²（t＞1），即有f（t）=$\frac{4}{t}$-t+1遞減，
則f（t）＜4，即有4m＜4，解得m＜1．
檢驗由拋物線關(guān)于y軸對稱，成立．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查拋物線的方程和運用，注意聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及弦長公式，考查運算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．