Question

（2009•湖北模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

2

(ex+ex-2)（x＜1）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的反函數(shù)為f^-1（x），則有（　�。�

• A．f-1(

  1

  2

  ) ＜f-1(

  3

  2

  )
• B．f-1(

  1

  2

  ) ＞f-1(

  3

  2

  )
• C．f-1(

  3

  2

  ) ＜f-1(2)
• D．f-1(

  3

  2

  ) ＞f-1(2)

Answer 1

分析：先判定函數(shù)f(x)=

1

2

(ex+ex-2)在（-∞，1）上的單調(diào)性，然后求出函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域，從而可判定選項C、D的真假，根據(jù)單調(diào)性可得選項A、B的真假．

解答：解：∵e^x在（-∞，1）上單調(diào)遞增，e^x-2在（-∞，1）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f(x)=

1

2

(ex+ex-2)在（-∞，1）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f(x)=

1

2

(ex+ex-2)的值域為（0，

1

2

（e+

1

e

））
則反函數(shù)為f^-1（x）的定義域為（0，

1

2

（e+

1

e

））
∵2不在定義域內(nèi)∴選項C、D不正確
根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性與反函數(shù)的單調(diào)性一致可知反函數(shù)為f^-1（x）在（0，

1

2

（e+

1

e

））上單調(diào)遞增
∴f-1(

1

2

) ＜f-1(

3

2

)
故選A．

點評：本題主要考查了反函數(shù)，以及原函數(shù)與反函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系和指數(shù)函數(shù)的值域，屬于中檔題．