Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）當時，討論函數(shù)的定義域內的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）極大值是；（2）無零點.

【解析】試題分析：（1）求出， 求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)單調性可得函數(shù)的極值；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可證明函數(shù)恒成立，即證明在定義域內無零點.

試題解析：（1）當時， ，

當時， ，所以，則單調增，

當時， ，所以，則單調減，

所以是的極大值點，極大值是.

（2）由已知，當時， ，所以，

令，

令，

在上遞減，又，

在上有唯一的零點，

，

當時，則，所以在內單調遞增；

當時，則，所以在內單調遞減

則 .

故當時， ，故，

所以當時， 在定義域內無零點.