Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

，
（1）若 f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù) f（x）為偶函數(shù)，建立方程即可求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義建立條件關(guān)系即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）若 f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即2^-x+

a

2-x

=2^x+

a

2x

，
∴2^-x+a•2^x=2^x+a•2^-x，
又對任意的x∈R都成立，
∴a=1．
（2）若f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則設(shè)0≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f(x1)-f(x2)=2x1+

a

2x1

-2x2-

a

2x2

=(2x1-2x2)(1-

a

2x1?2x2

)＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
即1-

a

2x1?2x2

＞0，
∴a＜2x1?2x2=2x1+x2，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1+x2＞1，
即a≤1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．