Question

（2012•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=eax•(

a

x

+a+1)，其中a≥-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問(wèn)題解決．
（II）對(duì)字母a進(jìn)行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex•(

1

x

+2)，f′(x)=ex•(

1

x

+2-

1

x2

)．  …（2分）
由于f（1）=3e，f'（1）=2e，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是2ex-y+e=0．  …（4分）
（Ⅱ）解：f′(x)=aeax

(x+1)[(a+1)x-1]

x2

，x≠0．               …（6分）
①當(dāng)a=-1時(shí)，令f'（x）=0，解得 x=-1．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（0，+∞）．…（8分）
當(dāng)a≠-1時(shí)，令f'（x）=0，解得 x=-1，或x=

1

a+1

．
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)；單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），(0，

1

a+1

)．                                             …（10分）
③當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間．       …（11分）
④當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），(0，

1

a+1

)；單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)．                      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以指數(shù)函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．