Question

7．已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₆=a₅+2a₄，若存在兩項a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． $\frac{28}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立條件關(guān)系求出m+n=4，利用基本不等式進行求解即可．

解答 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₆=a₅+2a₄，∴a₁q⁵=a₁q⁴+2a₁q³，
化為q²-q-2=0，又q＞0，解得q=2．
∵存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，
∴$\sqrt{{a}_{1}{2}^{m-1}•{a}_{1}{2}^{n-1}}$=2a₁，
平方化簡2^m+n-2=4，
∴m+n-2=2，即m+n=4．
∴$\frac{m}{4}$+$\frac{n}{4}$=1，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（$\frac{m}{4}$+$\frac{n}{4}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{n}{4m}$+$\frac{9m}{4n}$≥$\frac{10}{4}$+2$\sqrt{\frac{n}{4m}•\frac{9m}{4n}}$=$\frac{5}{2}$$+2×\frac{3}{4}$
=$\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}$=4．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{4m}$=$\frac{9m}{4n}$，即n=3m時取等號，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為4，
故選：D

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．