Question

已知奇函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)，且f（3）=0，則滿足（x-1）f（x）＜0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用奇函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x）在[-1，0]上為增函數(shù)，在（-∞，-1]上為減函數(shù)．且f（0）=0，f（-3）=f（3）=0，討論x＞1或-1＜x＜1或x＜-1，得到不等式組，通過單調(diào)性解出它們，再求并集即可．

解答： 解：由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
則由奇函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
在[1，+∞）上是減函數(shù)，
可得f（x）在[-1，0]上為增函數(shù)，
在（-∞，-1]上為減函數(shù)．
且f（0）=0，f（-3）=f（3）=0，
不等式（x-1）f（x）＜0，即為

x＞1 f(x)＜0=f(3)

或

-1＜x＜1 f(x)＞0=f(0)

或

x＜-1 f(x)＞0=f(-3)

，
即有

x＞1 x＞3

或

-1＜x＜1 x＞0

或

x＜-1 x＜-3

，
解得，x＞3或0＜x＜1或x＜-3，
故答案為：（-∞，-3）∪（0，1）∪（3，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．