Question

已知橢圓的離心率為，F₁，F₂為橢圓G的兩個焦點，點P在橢圓G上，且△PF₁F₂的周長為．
（Ⅰ）求橢圓G的方程
（Ⅱ）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若（O為坐標原點），求證：直線l與圓相切．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，
解得a=2，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為；
（Ⅱ）證明：由題意可知，直線l不過坐標原點，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（ⅰ）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=m（m≠0）且-2＜m＜2，
則x₁=m，，x₂=m，，
∵，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴，解得，
故直線l的方程為，
因此，點O（0，0）到直線l的距離為d=，
又圓的圓心為O（0，0），半徑r==d，
所以直線l與圓相切；
（ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，
由 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴，，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）==，
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故+=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圓的圓心為O（0，0），半徑r=，
圓心O到直線l的距離為d=，
∴==②，
將①式帶入②式得
=，
所以d==r，
因此，直線l與圓相切．
分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，聯立方程組解出即得a，c，再由b²=a²-c²求得b值；
（Ⅱ）由題意可知，直線l不過坐標原點，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），分情況討論：（ⅰ）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=m（m≠0）且-2＜m＜2，聯立直線方程與橢圓方程易求A，B坐標，由得x₁x₂+y₁+y₂=0，可求m，從而易判斷直線與圓垂直；（ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及x₁x₂+y₁+y₂=0可得k，m的方程①，根據點到直線的距離公式可表示圓心O到l的距離d，結合①式可求得d值，其恰好等于半徑r；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學生對問題的閱讀理解能力及轉化能力，弦長公式、點到直線距離公式、韋達定理是解決問題的基礎知識，要熟練掌握．