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【題目】如圖所示，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)度之和為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）在橢圓上任取點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）由題意，2a+2b＝10，結(jié)合 解得a＝3，b＝2，即得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），直線PA交y軸于點(diǎn)C（0，y1），直線PB交y軸于點(diǎn)D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可證明.

（Ⅰ）由題可知，，又解得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）解法1：設(shè)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).則，即.易知同向，故.

因?yàn)?/span>，，所以得直線的方程為，令，則；直線的方程為，令，則,

所以 ，為定值.

解法2：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則有

由（Ⅰ）知，設(shè)直線、的斜率分別為，則.

直線的方程為，令得；直線的方程為

令得.所以.

解法3：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則

如題圖所示，

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練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為推動(dòng)更多人閱讀，聯(lián)合國(guó)教科文組織確定每年的月日為“世界讀書日”.設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人，無(wú)論你是年老還是年輕，無(wú)論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂(lè)趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過(guò)巨大貢獻(xiàn)的思想大師們，都能保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了名居民，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這人中通過(guò)電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為,將這人按年齡分組，其中統(tǒng)計(jì)通過(guò)電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值及通過(guò)電子閱讀的居民的平均年齡；

（2）把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組，若選出的人中通過(guò)紙質(zhì)閱讀的中老年有人，請(qǐng)完成上面列聯(lián)表，則是否有的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)．

討論的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出以下四個(gè)命題：

（1）命題，使得，則，都有；

（2）已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則ab＝1；

（3）若平面α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則平面α平行于平面β；

（4）已知定義在上的函數(shù) 滿足條件 ，且函數(shù) 為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

其中真命題的序號(hào)為______________．（寫出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線．

（1）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；

（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，有，且的最大值.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，連接與橢圓相交于點(diǎn)，問(wèn)直線與軸是否交于一定點(diǎn).如果是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，，，.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.

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