Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2

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，底面ABCD是菱形，
且∠ABC=60°，E為CD的中點．
（1）證明：CD⊥平面SAE；
（2）側(cè)棱SB上是否存在點F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，只要證明CD垂直于平面SAE內(nèi)的兩條相交直線即可，容易證明CD⊥AE，CD⊥SA，所以會得到CD⊥平面SAE．
（2）要找直線CF∥平面SAE，轉(zhuǎn)化為找CF所在的平面和平面SAE平行，分別作兩條直線和平面SAE內(nèi)的兩直線平行，這樣能得到一個平面和SAE平面平行，取AB中點G，連接CG，過G作GF∥SA，交SB于F，容易證明平面CFG∥平面SAE，所以CF∥平面SAE，這樣F點就找到了．

解答： 解：（1）∵SA=AB=2，SB=2

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，∴∠SAB=90°；∵底面ABCD是菱形，∴AB=AD，同理可得∠SAD=90°；
∴SA⊥AB，SA⊥AD；
∴SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD；
∴SA⊥CD，即CD⊥SA；
連接AC，∠ADC=60°，AD=CD；
∴△ACD為等邊三角形，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；
∴CD⊥平面SAE．
（2）取AB中點G，并過G作GF∥SA，交SB于F，連接CF；
∵CG∥AE，AE?平面SAE，CG?平面SAE；
∴CG∥平面SAE，同理可得FG∥平面SAE，F(xiàn)G∩CF=G；
∴平面CFG∥平面SAE，CF?平面CFG；
∴CF∥平面SAE，并且F為SB的中點．
這樣就找到了點F．

點評：考查線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，注意要找一直線和一平面平行，轉(zhuǎn)化為找直線所在平面和這個平面平行的辦法．