Question

【題目】已知點(diǎn)及圓.

（1）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2) .

【解析】試題分析：（1）直線與圓相交時(shí)，利用圓的半徑，弦長(zhǎng)的一半，圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形的三邊勾股定理求解；（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，首先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)D（x，y），利用弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于仙所在的直線得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

試題解析：（1）解法一：如圖所示，AB＝4，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，

在Rt△ACD中，可得CD＝2．

設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，

即kx－y＋5＝0．

由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：

＝2，得k＝．

k＝時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0．

又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0．

∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0．

（2）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D（x，y），

則CD⊥PD，即

（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．