Question

12．如圖，準(zhǔn)備在扇形空地AOB上修建一個(gè)山水景觀OPQ，己知∠AOB=$\frac{2}{3}$π，OA=lkm，點(diǎn)P在扇形弧上，PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，記∠POA=x．
（Ⅰ）當(dāng)Q是OB中點(diǎn)時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求使山水景觀OPQ的面積S最大時(shí)x的值； 
（Ⅲ）為了方便路人休閑行走，要在扇形空地上鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧$\widehat{AP}$，線段PQ以及線段QB組成，怎樣設(shè)計(jì)才能使得觀光道路最長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)Q是OB中點(diǎn)時(shí)，在△OPQ中，由余弦定理得OP²=QO²+PQ-2QO²•PQcos$\frac{π}{3}$，求PQ的長(zhǎng)；
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}PQ•POsinx$，利用三角函數(shù)知識(shí)求使山水景觀OPQ的面積S最大時(shí)x的值； 
（Ⅲ）首先將道路長(zhǎng)度f(wàn)（x）表達(dá)成x的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，從而可以求得觀光道路最長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)Q是OB中點(diǎn)時(shí)，OQ=$\frac{1}{2}$，∠PQO=$\frac{π}{3}$，OP=1，
在△OPQ中，由余弦定理得OP²=QO²+PQ-2QO²•PQcos$\frac{π}{3}$，
∴PQ=$\frac{1+\sqrt{13}}{4}$；
（Ⅱ）在△OPQ中，由正弦定理得PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x），x∈（0，$\frac{2}{3}$π），
∴S=$\frac{1}{2}PQ•POsinx$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x）sinx=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，x=$\frac{π}{3}$時(shí)，山水景觀OPQ的面積S最大值問(wèn)為$\frac{\sqrt{3}}{4}$； 
（Ⅲ）設(shè)道路長(zhǎng)度為f（x），
△OPQ中，由正弦定理得OQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx，x∈（0，$\frac{1}{3}$π），
則f（x）=x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x）+（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx）=x+cosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由f′（x）=1-sinx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosx=0得sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵x∈（0，$\frac{1}{3}$π），∴x=$\frac{π}{6}$
易得x∈（0，$\frac{π}{6}$），f′（x）＞0，θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），f′（x）＜0，
∴x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取到最大值$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問(wèn)題中加以說(shuō)明．