Question

（2012•資陽二模）以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且被橢圓的右準(zhǔn)線分成弧長為2：1的兩段弧，那么該橢圓的離心率等于

6

3

．

Answer 1

分析：依據(jù)題意先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)、右準(zhǔn)線方程，以及圓的半徑，利用圓被橢圓的右準(zhǔn)線分成弧長為2：1的兩段弧，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．

解答：解：橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0），右準(zhǔn)線為 x=

a2

c

，圓的半徑為 c，
圓與右準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 

a2

c

，
∵圓被橢圓的右準(zhǔn)線分成弧長為2：1的兩段弧，∴∠AFB=120°
∴△OAB是正三角形，由FA=FB，及∠AFB=120°，構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系得
cos60°=

1

2

=

a2-c c

c

，
∴

c2

a2

=

2

3

，
∴

c

a

=

6

3

，
故答案為：

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．