Question

1．已知在遞增等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃是a₁和a₉的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)m，使得S_n＜m對于任意的n∈N₊恒成立？若存在，請求實數(shù)m的取值范圍，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）存在$m≥\frac{1}{2}$．由于b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，
∵a₃是a₁和a₉的等比中項，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a₉，即（2+2d）²=2（2+8d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）存在$m≥\frac{1}{2}$．
b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
∴存在實數(shù)m$≥\frac{1}{2}$，使得S_n＜m對于任意的n∈N₊恒成立．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．