Question

已知a＞b＞c，求證：a²b＋b²c＋c²a＞ab²＋bc²＋ca²．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2 　　＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋bc(b－c) 　�。�(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc] 　�。�(a－b)(b－c)(a－c)＞0(∵a＞b＞c)， 　　∴a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2． 　　證法二：令f(a)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋bc(b－a) 　�。�(b－c)[a2－(c＋b)a＋bc]． 　　方程f(a)＝0的兩根為b，c，又b－c＞0，且a＞b＞c． 　　結(jié)合圖象，知f(a)＞0． 　　所以原不等式成立． 　　思路分析：本題可以用作差法進(jìn)行推理證明，但也可以打破思維定式，從二次函數(shù)及方程這個(gè)角度來(lái)證明．