Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），當(dāng)x=-1時f（x）取得極大值，且函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，求證：．

Answer 1

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） 由f（x）為奇函數(shù)知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）=∴f（x）=…4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-1
∵，…6′
因?yàn)楫?dāng)時，f′（x）=x²-1＜0，即函數(shù)f（x）在上遞減∴，即…8′
又，…10′
又因?yàn)楫?dāng)時，f′（x）=x²-1＞0，即函數(shù)f（x）在上遞增；
當(dāng)時，f′（x）=x²-1＜0，即函數(shù)f（x）在上遞減
∵，∴
∴，
即：…12′
∴…13′
分析：（Ⅰ）通過函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，求出 b=d=0，當(dāng)x=-1時f（x）取得極大值，導(dǎo)數(shù)為0，求出a，c，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出x_n的范圍，推出，類比求出，即，即可求證：．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的極值、單調(diào)性，函數(shù)的解析式的求法，以及不等式的證明．難度較大，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．