Question

【題目】選修4﹣﹣4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知動點(diǎn)P，Q都在曲線C： 上，對應(yīng)參數(shù)分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點(diǎn)．
（1）求M的軌跡的參數(shù)方程
（2）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），

∴求M的軌跡的參數(shù)方程為： （α為參數(shù)，0＜α＜2π）．

（2）解：M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d= = （0＜α＜2π）．

當(dāng)α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．

【解析】（1）根據(jù)題意寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出M的軌跡的參數(shù)方程；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d= = ，再驗(yàn)證當(dāng)α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．