Question

若（2x+3）⁹=a₀+a₁x+a2x2+…+a₉x⁹，則(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=

 

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Answer 1

分析：先根據(jù)平方差公式將原式因式分解，再根據(jù)式子特點(diǎn)，可知對(duì)等式（2x+3）⁹=a₀+a₁x+a2x2+…+a₉x⁹兩邊求導(dǎo)，再將1或-1代入求值即可．

解答：解：(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=（a₁+2a₂+…+8a₈+9a₉）（a₁-2a₂+…-8a₈+9a₉）
∵（2x+3）⁹=a₀+a₁x+a2x2+…+a₉x⁹，
∴[（2x+3）⁹]′=（a₀+a₁x+a2x2+…+a₉x⁹）′
即18（2x+3）⁸=a₁+2a₂x+…+9a₉x⁸，
令x=1得18•5⁸=a₁+2a₂+…+8a₈+9a₉，
令x=-1得18=a₁-2a₂+…-8a₈+9a₉，
∴(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=18•5⁸•18=18²•5⁸．
故答案為：18²•5⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和賦值法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．