Question

18．${∫}_{-2}^{-1}$（$\sqrt{-{x}^{2}-2x}$+x²）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先將y=$\sqrt{-x^2-2x}$化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合幾何意義求定積分．

解答 解：記f（x）=$\sqrt{-x^2-2x}$，g（x）=x²，x∈[-2，-1]，
∵y=f（x）=$\sqrt{-x^2-2x}$=$\sqrt{1-（x+1）^2}$，平方得，（x+1）²+y²=1（y≥0），
∴f（x）的圖象為以（-1，0）為圓心，以1為半徑的圓的上半部分，
所以，${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx表示$\frac{1}{4}$圓的面積，其值為$\frac{π}{4}$，即${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx=$\frac{π}{4}$，
又因?yàn)?{∫}_{-2}^{-1}$g（x）dx=$\frac{1}{3}$x³${|}_{-2}^{-1}$=$\frac{7}{3}$，
因此，原式=${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx+${∫}_{-2}^{-1}$g（x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$，
故填：$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決定積分問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．