Question

16．已知$α，β均為銳角，α＞β，且cos（α+β）=-\frac{4}{5}，sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
求cos2β的值．

Answer 1

分析 由已知可求范圍0°＜α+β＜180°，0°＜α-β＜90°，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+β），cos（α-β）的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵$α，β均為銳角，α＞β，且cos（α+β）=-\frac{4}{5}，sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
∴0°＜α+β＜180°，0°＜α-β＜90°，
∴可得：sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=-$\frac{33}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．