Question

8．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A是橢圓的上頂點，△AF₁F₂為等腰直角三角形，點P為橢圓任意一點，且|PF₁|的最小值為$\sqrt{2}$-1；以OP為直徑作圓E，過F₁作OP的垂線交圓E于M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求|PM|的范圍．

Answer 1

分析 （1）由△AF₁F₂為等腰直角三角形，可得b=c，|PF₁|的最小值為a-c=$\sqrt{2}$-1，再由a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；
（2）設直線OP的斜率為y=kx，代入橢圓x²+2y²=2，求得P的坐標，再求過F₁作OP的垂線方程，運用點到直線的距離公式，以及直角三角形的射影定理，可得|PM|²=|PO|d，化簡整理，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由△AF₁F₂為等腰直角三角形，
可得b=c，
|PF₁|的最小值為a-c=$\sqrt{2}$-1，
又a²-c²=b²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設直線OP的斜率為y=kx，
代入橢圓x²+2y²=2，可得
P（-$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，-k$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$），
過F₁（-1，0）與OP的垂線設為y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
即有P到垂線的距離為d=$\frac{|1-（1+{k}^{2}）\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|OP|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
由三角形MPO為直角三角形，且PO⊥MF₁，
即有|PM|²=|PO|d=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|1-（1+{k}^{2}）\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=|$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$-$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$|，
設t=$\sqrt{1+2{k}^{2}}$（t≥1），即有2k²=t²-1，
則|PM|²=|$\frac{\sqrt{2}}{t}$-$\frac{1+{t}^{2}}{{t}^{2}}$|=|-（$\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-$\frac{1}{2}$|
=（$\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
由0＜$\frac{1}{t}$≤1，可得t=$\sqrt{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|PM|取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$\frac{1}{t}$→0時，|PM|→1．
即有|PM|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)：橢圓上一點到焦點的距離的最小值為a-c，考查直線和圓的位置關系，考查直線方程的運用和距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．