Question

4．若實數(shù)a，b，c，d滿足|b+$\frac{1}{2}$a²-4lna|+|3c-d+2|=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{121}{40}$．

Answer 1

分析 由條件可得b=4lna-$\frac{1}{2}$a²，3c-d+2=0，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義是（a，b）和（c，d）的距離的平方．顯然與直線3x-y+2=0平行的直線與曲線y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²相切時，距離取得最值．設(shè)出切點，求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點，運用點到直線的距離公式，計算即可得到所求最小值．

解答 解：|b+$\frac{1}{2}$a²-4lna|+|3c-d+2|=0，即有
b=4lna-$\frac{1}{2}$a²，3c-d+2=0，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義是（a，b）和（c，d）的距離的平方．
顯然與直線3x-y+2=0平行的直線與曲線y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²相切時，
距離取得最值．
設(shè)與直線3x-y+2=0平行的直線為3x-y+t=0，
切點為（m，n），由y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²的導數(shù)為y′=$\frac{4}{x}$-x，
由$\frac{4}{m}$-m=3，解得m=1（-4舍去），
可得切點為（1，-$\frac{1}{2}$），
即有切點到直線3x-y+2=0的距離為$\frac{|3+\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{11}{2\sqrt{10}}$，
則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{121}{40}$．
故答案為：$\frac{121}{40}$．

點評 本題考查兩點的距離公式的運用：求最值，考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，以及點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．