Question

如下圖所示，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)1M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.

Answer 1

思路分析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍.

解：如圖以直線l₁為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn).

設(shè)曲線段C的方程為y²=2px（p＞0）（x_A≤x≤x_B，y＞0），其中x_A、x_B為A、B的橫坐標(biāo)，p=|MN|，

    所以M（，0）、N（，0）.

    由|AM|=，|AN|=3，得

（x_A+）²+2px_A=17，       ①

（x_A-）²+2px_A=9.          ②

①②聯(lián)立解得x_A=，代入①式，并由p＞0，

    解得或

    因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以.

    故舍去所以

    由點(diǎn)B在曲線段C上，得x_B=|BN|-=4.

    綜上，曲線段C的方程為y²=8x（1≤x≤4，y＞0）.