Question

4．關(guān)于x的不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x）的解集為A，若A∩Z={1}，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 當 0＜a＜1時，由題意利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＜a-x}\end{array}\right.$，求得原不等式的解集為A={x|-2＜x＜1-$\sqrt{5-2a}$}．此時，A∩Z={1}不可能．
當a＞1時，由由題意利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞a-x}\end{array}\right.$，求得原不等式的解集A，再根據(jù)A∩Z={1}，分類討論求得a的范圍．綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）當 0＜a＜1時，由不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x），可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＜a-x}\end{array}\right.$．
求得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{x＜a}\\{{x}^{2}-2x+2a-4＞0…①}\end{array}\right.$．
由于①的判別式△=4-4（2a-4）=20-4a＞0，故①的解集為{x|x＜1-$\sqrt{5-2a}$，或x＞1+$\sqrt{5-2a}$}．
故原不等式的解集為A={x|-2＜x＜1-$\sqrt{5-2a}$}．
此時，A∩Z={1}不可能．
（2）當a＞1時，由不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x），可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞a-x}\end{array}\right.$．
求得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{x＜a}\\{{x}^{2}-2x+2a-4＜0…②}\end{array}\right.$．
由題意可得，②的判別式△=4-4（2a-4）=4（5-2a）＞0，故②的解集為{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，且1＜a＜$\frac{5}{2}$．
若a=2，②的解集為{x|0＜x＜2}，原不等式的解集為A={x|0＜x＜2}，滿足A∩Z={1}．
若1＜a＜2，②的解集為{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，原不等式的解集為A={x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜2}，滿足A∩Z={1}．
若2＜a＜$\frac{5}{2}$，②的解集為{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，原不等式的解集為A={x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜2}，滿足A∩Z={1}．
綜上可得，1＜a＜$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．